経路積分とは
量子力学は、ふつうは演算子とシュレディンガー方程式で定式化します。それとは別に、「粒子が通りうるすべての経路について足し合わせる」という見方で量子力学を書き直したものが、Feynmanの経路積分です。
始点 から終点
へ移る遷移振幅は、次のように書けます。
古典力学では、作用を最小にする経路が1本だけ選ばれます。これに対して量子力学では、すべての経路が位相 の重みを付けて寄与します。この考え方は、場の量子論を扱ううえで欠かせない道具になっています。
ScienceHub（サイエンスハブ）では、経路積分を基礎から整理したノート「経路積分」を無料で公開しています。
場の量子論を量子力学的に扱うときに必要になる経路積分の話題を、コンパクトにまとめたノートです。シリーズ「量子力学」の第4回にあたります。
ノートの内容
- 復習：フーリエ変換、シュレディンガー表示・ハイゼンベルグ表示・Dirac表示
- 汎関数積分：時間発展演算子から、位相空間の経路積分を導出
- 調和振動子系：生成消滅演算子、コヒーレント状態による1の分割、汎関数積分表示
- ガウス積分の一般的性質：有効ポテンシャル、ルジャンドル変換、古典解のまわりの量子補正
- 量子力学での例：調和振動子、自由粒子、WKB近似
- フェルミオン：グラスマン数、フェルミオンのコヒーレント状態
ちょっとだけ中身を紹介
すべての鍵はガウス積分
経路積分の計算は、突き詰めるとガウス積分に行き着きます。 変数のガウス積分は次のとおりです。
経路積分は、この変数の数 を無限大にしたものとみなせます。ノートでは、ガウス積分の性質から有効ポテンシャルやルジャンドル変換を導き、古典解のまわりの量子補正（1ループ補正）へと話を進めています。
自由粒子の遷移振幅
いちばん簡単な例は自由粒子です。経路積分を実行すると、次の結果が得られます（ノートの単位系での表示です）。
指数の肩に乗っているのは、古典的な経路に沿った作用です。古典力学が「主役」として顔を出し、量子的なゆらぎは前の係数に入る、という構造になっています。調和振動子でも同じ構造の結果が得られます。
フェルミオンとグラスマン数
電子のようなフェルミオンを経路積分で扱うには、反可換な数であるグラスマン数を使います。グラスマン数でガウス積分を計算すると、ふつうの複素数のときとは逆に、行列式が分子に来ます。
[tex:\displaystyle \int\prod d\zeta^{}d\zeta\,e^{-\zeta^{}M\zeta}=\det M]
（複素数の場合は です。）この違いが、場の量子論でフェルミオンのループにマイナス符号が付く理由につながっています。
こんな人におすすめ
- 量子力学を一通り学び、経路積分を基礎から理解したい人
- 場の量子論に進む前に、汎関数積分の準備をしておきたい人
- グラスマン数とフェルミオンの扱いを整理したい人
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